Energia grawitacyjna kuli.

 Jak wiadomo energię potencjalną masy m w polu grawitacyjnym masy M można wyrazić wzorem:

(1) $$E=-\frac{GMm}{r}$$
 Rozważmy energię potencjalną cienkiej warstwy masy w formie sfery rozłożonej na powierzchni kuli o masie $M(r)$

Wtedy energia potencjalna sferycznej warstwy o grubości  $r+dr$ można zapisać równaniem.
(2) $$dE=-\frac{GM(r)}{r}dm$$
Zakładając, że gęstość materii wynosi $\varrho$ masa sfery wynosi:
(3) $$dm=4\pi r^2\varrho dr$$
Masę poniżej sfery można obliczyć z formuły.
(4) $$M(r)=\frac{4}{3}\pi r^3\varrho$$
Podstawiając (3) i (4) do równania (2) dostajemy.
$$\begin{equation} dE=-\frac{G\frac{4}{3}\pi r^3\varrho 4\pi r^2\varrho dr }{r} \end{equation}$$
$$\begin{equation} dE=-\frac{16}{3}\pi^2G\varrho ^2r^4dr \end{equation}$$
W celu obliczenia całkowitej energii kuli o promieniu R należy scałkować równanie (6) \\ w przedziale od 0 do R, gdzie R oznacza całkowity promień kuli.
$$\begin{equation} E=-\frac{16}{3}\pi^2G\varrho ^2\int_{0}^{R}r^4dr \end{equation}$$
W wyniku całkowania dostajemy.
$$\begin{equation} E=-\frac{16}{3}\pi^2G\varrho ^2\frac{1}{5}r^5 \end{equation}$$
Wiemy, że:
$$\begin{equation} \varrho=\frac{3M}{4\pi R^3} \end{equation}$$
$$\begin{equation} \varrho^2=\frac{9M^2}{16\pi^2 R^6} \end{equation}$$
Zatem ostatecznie wzór na energię grawitacyjną kuli o masie M i promieniu R możemy wyrazić wzorem.
$$\begin{equation} \boxed{E=-\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}} \end{equation}$$

Warto zauważyć, że energia ta jest ujemna. Oznacza to, że w miarę kurczenia się kuli  np. gazu energia jest wyzwalana. Jest to ważne spostrzeżenie gdyż ma związek z początkowymi stadiami ewolucji gwiazd. Gwiazda powstaje na wskutek zapadania się obłoku gazowego. Oznacza to, że w czasie grawitacyjnej zapaści proto gwiazda rozgrzewa się i świeci kosztem energii grawitacyjnej oraz po przekroczeniu pewnej granicy grawitacja powoduje rozgrzanie gazu to takiej temperatury, w której są możliwe reakcje termojądrowe.