Processing math: 100%

czwartek, 14 lutego 2013

Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą czynnika całkującego.



Rozważmy równanie różniczkowe w postaci:

dydx+p(x)y=q(x)
Pomnóżmy obie strony równania przez pewną funkcją J(x):
J(x)dydx+J(x)p(x)y=J(x)q(x)
Zauważmy, że lewa strona równania przypomina nieco formułę na pochodną iloczynu
ddx(J(x)y)=J(x)dydx+ydJ(x)dx


 
Porównując prawą stronę tego równania z lewą stroną wcześniejszego mamy:
J(x)dydx+J(x)p(x)y=J(x)dydx+ydJ(x)dx
Po prostych przekształceniach mamy:
dJ(x)dx=J(x)p(x)
dJJ=p(x)dx
Całkując stronami mamy:
dJJ=p(x)dx
lnJ=p(x)dx
J(x)=ep(x)dx
Funkcję J(x) nazywamy czynnikiem całkującym. Wyjściowe równanie przyjmie postać:
ddx(J(x)y)=g(x)J(x)
Całkując stronami mamy:
J(x)y=g(x)J(x)dx
Ostatecznie
y=1J(x)g(x)ep(x)dxdx


Przykład:
Rozwiąż równanie
dydx+xy=x
W naszym przypadku p(x)=x i q(x)=x. Obliczmy czynnik całkujący:
J(x)=exdx=e12x2
Pomnożmy stronami nasze równanie wyjściowe przez czynnik całkujący:
e12x2dydx+xye12x2=xe12x2
ddx(e12x2y)=xe12x2
e12x2y=xe12x2dx
xe12x2dx={u=12x2du=xdx}=eudu=eu+C=e12x2+C
e12x2y=e12x2+C
y=Ce12x2+1

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz