Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą czynnika całkującego.

Rozważmy równanie różniczkowe w postaci:

\[\frac{{dy}}{{dx}} + p(x)y = q(x)\]
Pomnóżmy obie strony równania przez pewną funkcją J(x):
\[J(x)\frac{{dy}}{{dx}} + J(x)p(x)y = J(x)q(x)\]
Zauważmy, że lewa strona równania przypomina nieco formułę na pochodną iloczynu
\[\frac{d}{{dx}}(J(x)y) = J(x)\frac{{dy}}{{dx}} + y\frac{{dJ(x)}}{{dx}}\]


 
Porównując prawą stronę tego równania z lewą stroną wcześniejszego mamy:
\[J(x)\frac{{dy}}{{dx}} + J(x)p(x)y = J(x)\frac{{dy}}{{dx}} + y\frac{{dJ(x)}}{{dx}}\]
Po prostych przekształceniach mamy:
\[\frac{{dJ(x)}}{{dx}} = J(x)p(x)\]
\[\frac{{dJ}}{J} = p(x)dx\]
Całkując stronami mamy:
\[\int {\frac{{dJ}}{J}}  = \int {p(x)dx} \]
\[\ln J = \int {p(x)dx} \]
\[J(x) = {e^{\int {p(x)dx} }}\]
Funkcję J(x) nazywamy czynnikiem całkującym. Wyjściowe równanie przyjmie postać:
\[\frac{d}{{dx}}(J(x)y) = g(x)J(x)\]
Całkując stronami mamy:
\[J(x)y = \int {g(x)J(x)dx} \]
Ostatecznie
\[y = \frac{1}{{J(x)}}\int {g(x){e^{\int {p(x)dx} }}} dx\]


Przykład:
Rozwiąż równanie
\[\frac{{dy}}{{dx}} + xy = x\]
W naszym przypadku p(x)=x i q(x)=x. Obliczmy czynnik całkujący:
\[J(x) = {e^{\int {xdx} }} = {e^{\frac{1}{2}{x^2}}}\]
Pomnożmy stronami nasze równanie wyjściowe przez czynnik całkujący:
\[{e^{\frac{1}{2}{x^2}}}\frac{{dy}}{{dx}} + xy{e^{\frac{1}{2}{x^2}}} = x{e^{\frac{1}{2}{x^2}}}\]
\[\frac{d}{{dx}}\left( {{e^{\frac{1}{2}{x^2}}}y} \right) = x{e^{\frac{1}{2}{x^2}}}\]
\[{e^{\frac{1}{2}{x^2}}}y = \int {x{e^{\frac{1}{2}{x^2}}}dx} \]
\[\int {x{e^{\frac{1}{2}{x^2}}}dx} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = \frac{1}{2}{x^2}}\\{du = xdx}\end{array}} \right\} = \int {{e^u}du = {e^u} + C = {e^{\frac{1}{2}{x^2}}}} + C\]
\[{e^{\frac{1}{2}{x^2}}}y = {e^{\frac{1}{2}{x^2}}} + C\]
\[y = C{e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}} + 1\]