Jak złapać neutrina.

Ukryty 1000 metrów pod górą Ikeno w Japonii detektor to miejsce, które wygląda jak marzenie Godzilli. Super-Kamiokande (lub "Super-K", jak to czasem się nazywa) to detektor neutrin. Neutrina są cząstkami subatomowymi, które przemieszczają się w przestrzeni i przechodzą przez ciało stałe, praktycznie bez oddziaływania. Badanie tych cząstek pomaga naukowcom wykryć umierające gwiazdy i dowiedzieć się więcej o wszechświecie.

Granica Roche'a.

Granica Roche'a jest minimalną odległością w jakiej może poruszać się obiekt np. satelita wokół innego ciała niebieskiego. Po przekroczeniu tej granicy satelita na wskutek działania sił pływowych ulegnie rozerwaniu. Wynika to z faktu, iż jedna półkula satelity jest silniej przyciągana grawitacyjnie niż druga. W rezultacie różnica tych sił (inaczej siła pływowa) może spowodować rozerwanie satelity na kawałki. Efektem końcowym takiego procesu mogą być pierścienie planetarne obecne chociażby w przypadku Saturna czy Jowisza. W jaki sposób można obliczyć promień strefy Roche'a. Rozważmy bardzo uproszczony model, w którym satelita składa się z dwóch kulek związanych ze sobą siłami grawitacji. Satelita orbituje wokół planety o masie M. Sytuację ilustruje rysunek.

Siła wiążąca satelitę może być wyrażona formułą.

$$ F=G\frac{m^2}{4r^2}$$

Siła pływowa związana jest z różnicą przyciągania bliższej kulki i dalszej kulki przez planetę. Łatwo ją obliczyć.

$$\Delta F=F_1-F_2=G\frac{Mm}{(R-r)^2}-G\frac{Mm}{(R+r)^2}$$
$$\Delta F= G\frac{Mm}{R^2}\left ( \frac{1}{\left ( 1-\frac{r}{R} \right )^2}-\frac{1}{\left ( 1+\frac{r}{R} \right )^2} \right )$$

Załóżmy, że r<<R wtedy ułamki możemy rozwinąć w szereg Taylora:

$$\frac{1}{(1\pm x)^2}\approx 1\mp 2x$$

Wtedy siła pływowa wynosi:

$$\Delta F= G\frac{Mm}{R^2}\left ( \frac{4r}{R} \right )$$

Warunek na promień strefy Roche'a ma postać:

$$\Delta F=F$$

Zatem

 $$G\frac{Mm}{R^2}\left ( \frac{4r}{R} \right )=G\frac{m^2}{4r^2}$$

Po prostych przekształceniach dostajemy:

$$R=r\left ( 16\frac{M}{m} \right )^{1/3}\approx 2.52r\left ( \frac{M}{m} \right )^{1/3}$$

Można też promień strefy Roche'a wyrazić przy użyciu gęstości. Wtedy wzór ma postać:

$$R=2.52r_M\left ( \frac{\rho_M}{\rho_m} \right )^{1/3}$$

Uzyskane wzory są  wzorami przybliżonymi, gdyż nasz model jest stosunkowo prosty. Dokładne wyprowadzenie formuł można przeanalizować tutaj. Jak widać wzory są bardzo podobne. Różnią się tylko zawyżonym w naszych obliczeniach współczynnikiem 2.52. Faktyczne współczynniki wynoszą 1.26 dla satelity będącego ciałem stałym i 2.42 dla satelity "ciekłego".

Dla układu Mars-Phobos promień Roche'a wynosi około 5500 km.  Zatem Phobos krąży blisko strefy Roche'a. Istnieje zatem prawdopodobieństwo, że zbliżając się do Marsa w tempie 2m/100lat ulegnie rozerwaniu tworząc pierścień wokół Marsa bądź uderzy w jego powierzchnię. Może to nastąpić za 30-50 mln lat.

Fale grawitacyjne.

W dniu dzisiejszym, zespół naukowców pracujących przy eksperymencie LIGO (Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory – czyli Laserowe Obserwatorium Interferometryczne Fal Grawitacyjnych) ogłosił oficjalnie odkrycie fal grawitacyjnych przewidzianych 100 lat temu przez Alberta Einsteina w jego Ogólnej Teorii Względności. Odkrycie to podobnie jak wcześniejsze odkrycie bozonu Higgsa jest niewątpliwie kamieniem milowym współczesnej fizyki i pomoże naukowcom zbliżyć się do zjawisk obecnych podczas Wielkiego Wybuchu. Co więcej, może przyczynić się do bliższego poznania grawitacji albowiem obecnie nasza wiedza na jej temat choć znaczna nie jest pełna. Do pełnego obrazu brakuje odkrycie kolejnego bozonu przenoszącego oddziaływania - grawitonu, a co się z tym wiąże pola grawitonowego, którego wynikiem jest istnienie grawitacji. Być może uda się na też wyjaśnić czemu grawitacja jako jedno z czterech podstawowych oddziaływań jest tak słabe (10^-44 - raza słabsze niż oddziaływanie elektromagnetyczne).

Energia grawitacyjna kuli.

 Jak wiadomo energię potencjalną masy m w polu grawitacyjnym masy M można wyrazić wzorem:

(1) $$E=-\frac{GMm}{r}$$
 Rozważmy energię potencjalną cienkiej warstwy masy w formie sfery rozłożonej na powierzchni kuli o masie \(M(r)\)

Test Math Jaxa. Twierdzenie Boltzmana.

 Ze względu na swoje zainteresowania i pracę zawodową często staje przede mną konieczność umieszczenia formuł matematycznych na stronie internetowej. Dotyczy to stron statycznych, blogów i platform e-learningowych. Jednym z rozwiązań jest zastosowanie języka MathML jednak trzeba się go nauczyć, a jestem z nautry dość leniwy. Zaczołem szukać jakiegoś narzędzia umożliwiającego wpisywanie formuł matematycznych przy użyciu LaTEX'a, którego znam. Poszukiwania nie trwały długo. Od razu natrafiłem na stronę MathJax która udostępnia oprogramowanie umożliwiające wpisywanie formuł matematycznych na stronach WWW. Wykorzystuje ono JavaScript i pozwala wprowadzać wzory w postaci LaTEX. Można również skorzystać z edytora równań - ja często używam Latex Equation Editor, choć preferuje MathType.

W celu wykorzystania MathJax np. w Bloggerze  wystarczy przełączyć się w trybie wpisywania/edytowania postu w tryb HTML i wkleić tam fragment kodu:

<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); </script> <script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript"> </script>

Następnie możemy już wpisać równanie (można to robić niekoniecznie w trybie HTML), np.

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta } }{2a}\]

co do w rezultacie:

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta } }{2a}\]

Ludwig Boltzman

Jako przykład wykażmy, że średnia energia kinetyczna cząsteczek nierelatywistycznego gazu doskonałego można wyrazić  wzorem (twierdzenie Boltzmana):

\[\left\langle E \right\rangle  = \frac{3}{2}kT\]

W ogólnym przypadku średnią energię kinetyczną możemy zapisać jako:

\[\left\langle E \right\rangle  = \int\limits_0^\infty  {n(E)P(E)EdE} \]

Zabawa z widmami cz3

W wolnych chwilach bawię się nadal skryptem do widm. Nieco go zmodyfikowałem. Zwiększyłem rozmiar rysunku oraz popiołem bazę danych NIST. Wygląda to nieźle :) Pozostaje do zrobienia formularz do generowania zapytań do baz danych i myślę, że będzie gotowe. BTW, dawno nie zajmowałem się PHP i wykorzystanie biblioteki PDO znakomicie ułatwia podpięcie bazy do skryptu. Wygenerowałem też taki oto rysunek.

Widma gazów szlachetnych oraz dwóch metali.

Sam skrypt ma postać:

function adjust($color,$factor,$max){
    $intensity_max=$max;
    $gamma=0.6;
    if ($color==0) return 0; else
        return round($intensity_max*pow($color*$factor,$gamma));
}
function lambda2RGB($lambda,$int_max){
    if (($lambda>=380)&&($lambda<=439)) {$R=-($lambda-440)/60;$G=0;$B=1.0;} else
    if (($lambda>=440)&&($lambda<=489)) {$R=0;$G=($lambda-440)/50;$B=1.0;} else
    if (($lambda>=490)&&($lambda<=509)) {$R=0;$G=1;$B=-($lambda-510)/20;} else
    if (($lambda>=510)&&($lambda<=579)) {$R=($lambda-510)/70;$G=1;$B=0;} else
    if (($lambda>=580)&&($lambda<=644)) {$R=1;$G=-($lambda-645)/65;$B=0;} else
    if (($lambda>=645)&&($lambda<=780)) {$R=1;$G=0;$B=0;} else {$R=0;$G=0;$B=0;}

    if (($lambda>=380)&&($lambda<=419)) {$intensity=0.3+0.7*($lambda-380)/40;}
    if (($lambda>=420)&&($lambda<=700)) {$intensity=1;}
    if (($lambda>=701)&&($lambda<=780)) {$intensity=0.3+0.7*(780-$lambda)/80;}
    
    $R=adjust($R,$intensity,$int_max);
    $G=adjust($G,$intensity,$int_max);
    $B=adjust($B,$intensity,$int_max);

    return array ($R,$G,$B);
}
header("Content-type: image/png");
$width=1000; $height=80;
$img = imagecreatetruecolor($width, $height);
 try
   {
      $pdo = new PDO('mysql:host=localhost;dbname=spectra', 'root', '');
      $pdo -> setAttribute(PDO::ATTR_ERRMODE, PDO::ERRMODE_EXCEPTION);
      $query = $pdo -> query('SELECT Truncate((linia/10),0) as linia,intensity from nist where (linia<=7800) and (linia>=3800) and (symbol="Na") and (ion=1) order by linia;');
      foreach($query as $row){$lines[]=$row['linia'];$lintensity[]=$row['intensity'];}
      $query -> closeCursor();
   }
   catch(PDOException $e)
   {
      echo 'Połączenie nie mogło zostać utworzone: ' . $e->getMessage();
   }
$max=max($lintensity);
$min=min($lintensity);
$k=0;
foreach($lines as $i){
$relative_intensity=230/($max-$min)*$lintensity[$k]+(25-230*$min/($max-$min));
$x=(-$width/400)*$i+(780/400)*$width;
list($a,$b,$c)=lambda2RGB($i,$relative_intensity);
$color = imagecolorallocate($img, $a, $b, $c);
imageline($img,$x,0,$x,$height,$color);
$k++;
}
imagepng($img);
imagedestroy($img)
?>

Zabawa z widmami cz2

Pora na udoskonalenie skryptu. Do zdobienia są dwie rzeczy: odwrócenie kolorów oraz uwzględnienie intensywności linii. Odwrócenie kolorów to czystko kosmetyczna operacja mająca na celu umieszczenie niebieskiej i filetowej części widma z prawej strony. Druga sprawa, intensywność, jest bardziej złożona. Jak wiadomo intensywność linii widmowych nie jest taka sama. Trzeba to uwzględnić w trakcie rysowania widma. Procedura okazała się banalna i skrypt ma teraz postać:

//calculations
function adjust($color,$factor,$int_max){
    $intensity_max=$int_max;
    $gamma=0.6;
    if ($color==0) return 0; else
        return round($intensity_max*pow($color*$factor,$gamma));
}
function lambda2RGB($lambda,$int_max){
    if (($lambda>=380)&&($lambda<=439)) {$R=-($lambda-440)/60;$G=0;$B=1.0;} else
    if (($lambda>=440)&&($lambda<=489)) {$R=0;$G=($lambda-440)/50;$B=1.0;} else
    if (($lambda>=490)&&($lambda<=509)) {$R=0;$G=1;$B=-($lambda-510)/20;} else
    if (($lambda>=510)&&($lambda<=579)) {$R=($lambda-510)/70;$G=1;$B=0;} else
    if (($lambda>=580)&&($lambda<=644)) {$R=1;$G=-($lambda-645)/65;$B=0;} else
    if (($lambda>=645)&&($lambda<=780)) {$R=1;$G=0;$B=0;} else {$R=0;$G=0;$B=0;}
    if (($lambda>=380)&&($lambda<=419)) {$intensity=0.3+0.7*($lambda-380)/40;}
    if (($lambda>=420)&&($lambda<=700)) {$intensity=1;}
    if (($lambda>=701)&&($lambda<=780)) {$intensity=0.3+0.7*(780-$lambda)/80;}
    $R=adjust($R,$intensity,$int_max);
    $G=adjust($G,$intensity,$int_max);
    $B=adjust($B,$intensity,$int_max);
    return array ($R,$G,$B);
}
// file type
header("Content-type: image/png");
// create image
$img = imagecreatetruecolor(800, 50);
// draw line
$lines=array(4046.563,4339.223,4347.494,4358.328,5460.735,5769.598,5790.663,7081.90);
$intensity=array(400,60,100,1000,500,50,60,25);
$max=max($intensity);
$min=min($intensity);
$k=0;
foreach($lines as $i){
$relative_intensity=230/($max-$min)*$intensity[$k]+(25-230*$min/($max-$min));
$i=$i/10;
$x=800-2*$i+760;
list($a,$b,$c)=lambda2RGB($i,$relative_intensity);
$color = imagecolorallocate($img, $a, $b, $c);
imageline($img,$x,0,$x,50,$color);
$k++;
}
//display image
imagepng($img);
// release image from memory
imagedestroy($img)
?>

Wynik działania dla helu i neonu:

He I/He II

Ne I/Ne II

W części 3 wykorzystam już bazę danych.

Zabawa z widmami cz1

Coś mnie naszło na odświeżenie wiedzy z fizyki oraz programowania w PHP. Tylko jak to połączyć? Mam! W bardzo starych zasobach odkopałem bazę danych linii widmowych wszystkich (no prawie) pierwiastków. Baza jest w MySQL czyli jak do PHP to jak znalazł. Wstępnie postanowiłem jej nie wykorzystywać tylko wpisać wybrane linie w samym skrypcie PHP. Okazało się, że jest pewien problem. Otóż w bazie danych podana jest długość fali danych linii w nm. Jak to przeliczyć na RGB? Okazuje się, że dokładne odwzorowanie kolorów z długości fali na przestrzeń RGB nie jest możliwe w 100%. Wynika to oczywiście z zakresu przestrzeni barwnej. Ale nic. Gwardia umiera ale się nie poddaje. Udało mi się znaleźć przybliżony algorytm konwertujący długość fali na RGB.
Jest o bardzo prosty i składa się z dwóch funkcji (listing w PHP):

{
    $intensity_max=255;
    $gamma=0.8;
    if ($color==0) return 0; else
        return round($intensity_max*pow($color*$factor,$gamma));
}
function lambda2RGB($lambda){
    if (($lambda>=380)&&($lambda<=439)) {$R=-($lambda-440)/60;$G=0;$B=1.0;} else
    if (($lambda>=440)&&($lambda<=489)) {$R=0;$G=($lambda-440)/50;$B=1.0;} else
    if (($lambda>=490)&&($lambda<=509)) {$R=0;$G=1;$B=-($lambda-510)/20;} else
    if (($lambda>=510)&&($lambda<=579)) {$R=($lambda-510)/70;$G=1;$B=0;} else
    if (($lambda>=580)&&($lambda<=644)) {$R=1;$G=-($lambda-645)/65;$B=0;} else
    if (($lambda>=645)&&($lambda<=780)) {$R=1;$G=0;$B=0;} else {$R=0;$G=0;$B=0;}
    if (($lambda>=380)&&($lambda<=419)) {$intensity=0.3+0.7*($lambda-380)/40;}
    if (($lambda>=420)&&($lambda<=700)) {$intensity=1;}
    if (($lambda>=701)&&($lambda<=780)) {$intensity=0.3+0.7*(780-$lambda)/80;}
    $R=adjust($R,$intensity);
    $G=adjust($G,$intensity);
    $B=adjust($B,$intensity);
    return array ($R,$G,$B);
}

Dalej to już z górki.  Skrypt generujący widmo ciągłe światła białego.

//calculations
function adjust($color,$factor){
    $intensity_max=255;
    $gamma=0.8;
    if ($color==0) return 0; else
        return round($intensity_max*pow($color*$factor,$gamma));
}
function lambda2RGB($lambda){
    if (($lambda>=380)&&($lambda<=439)) {$R=-($lambda-440)/60;$G=0;$B=1.0;} else
    if (($lambda>=440)&&($lambda<=489)) {$R=0;$G=($lambda-440)/50;$B=1.0;} else
    if (($lambda>=490)&&($lambda<=509)) {$R=0;$G=1;$B=-($lambda-510)/20;} else
    if (($lambda>=510)&&($lambda<=579)) {$R=($lambda-510)/70;$G=1;$B=0;} else
    if (($lambda>=580)&&($lambda<=644)) {$R=1;$G=-($lambda-645)/65;$B=0;} else
    if (($lambda>=645)&&($lambda<=780)) {$R=1;$G=0;$B=0;} else   {$R=0;$G=0;$B=0;}
    if (($lambda>=380)&&($lambda<=419)) {$intensity=0.3+0.7*($lambda-380)/40;}
    if (($lambda>=420)&&($lambda<=700)) {$intensity=1;}
    if (($lambda>=701)&&($lambda<=780)) {$intensity=0.3+0.7*(780-$lambda)/80;}
    $R=adjust($R,$intensity);
    $G=adjust($G,$intensity);
    $B=adjust($B,$intensity);
    return array ($R,$G,$B);
}
// file type
header("Content-type: image/png");
// create image
$img = imagecreatetruecolor(800, 50);
// set colors
// draw line
for($i=380;$i<=780;$i++){
$x=2*$i-760;
list($a,$b,$c)=lambda2RGB($i);
$color = imagecolorallocate($img, $a, $b, $c);
imageline($img,$x,0,$x,50,$color);
imageline($img,$x+1,0,$x+1,50,$color);
}
// display image
imagepng($img);
// release image from memory
imagedestroy($img)
?>

Wynik działania:

Działa! Czas przetestować na liniach widmowych. Na warsztat idzie wodór (seria Blamera) i rtęć. Drobna modyfikacja skryptu (dla np. Hg):

// draw line
$lines=array(3983.931,4046.563,    4339.223,4347.494,4358.328,5128.442,5204.768,5425.253,5460.735,5677.105,5769.598,790.663,5871.279,5888.939,    6146.435,6149.475,7081.90,7346.508);
foreach($lines as $i){
$i=$i/10;
$x=2*$i-760;
list($a,$b,$c)=lambda2RGB($i);
$color = imagecolorallocate($img, $a, $b, $c);
//imageline($img,$x,0,$x,50,$color);
imageline($img,$x+1,0,$x+1,50,$color);
}

I wyniki są bardzo obiecujące.

Wodór (seria Blamera)

Rtęć Hg I i Hg II

Na początek zostaje uwzględnienie intensywności linii ale o tym w części 2.

Zajęcie na długie jesienne wieczory - spektroskopia gwiazd.

Jak wiadomo analiza widma dowolnej gwiazdy niesie ze sobą masę istotnych informacji o niej samej. Możemy określić skład chemiczny lub temperaturę (wykorzystując metodę EW czy prawo Wiena) co pozwala na określenie mocy promieniowania i wyznaczenia chociażby promienia gwiazdy. W przypadku badania widm całych galaktyk możemy określić "red shift" linii widmowych a tym samym wyznaczyć z prawa Hubble'a odległość. Do tej pory takie badania dostępne były raczej dla profesjonalistów niemniej wraz z pojawieniem się filtru Star Analyser, będącego w zasadzie siatką dyfrakcyjną o 100 liniach na mm, analiza widmowa stała się możliwa dla amatorów. Zajęcie na jesień jak znalazł. Udało mi się zdobyć surowe widma wykonane w Hiszpanii przez tamtejszego astroamatora. Troszkę posiedziałem i udało mi się przeanalizować widmo Syriusza. Profil widmowy gwiazdy wygląda:

Widoczne są silne linie absorpcyjne wodoru z serii Blaamera co nie jest dziwne jako, że Syriusz jest gwiazdą typu A0. Syntetyczne widmo Syriusza również ujawnia te linie:

Analiza widmowa jest ciekawa ale... jest czasochłonna. Sama kalibracja widm zabiera sporo czasu, nie  wspominając już o analizie chemicznego składu gwiazdy. Nie jest to zabawa tania. Filtr Star Analyser kosztuje ok. 100 euro (w Polsce ok. 500zł) no i program do tej zabawy (RSpec) kosztuje 99$, choć tu można wykorzystać darmowego VSpec'a ale jest dość upierdliwy w obsłudze. Reasumując rzecz fajna ale nie na moją kieszeń. Pozostanę przy analizie gotowych zdjęć albo znajdę sponsora. Hehehe ;)

Odkryto nowy bozon. Czyżby to był Higgs?

Zdarzenie rozpady bozonu Higgsa na dwa fotony (H->γγ) pr
zy energii 8TeV (CMS/CERN)

Zdarzenie rozpady bozonu Higgsa na cztery miony)(ATLAS/CERN)




Jak donoszą media podczas seminarium zorganizowanym dzisiaj W CERN zespoły pracujące przy detektorach ATLAS i CMS przedstawiły wyniki badać ukierunkowanych na dotychczas nieuchwytną cząstkę Higgsa - bozon, do którego przylgnęła nazwa "boska cząstka" choć moim zdaniem nieco na wyrost. Naukowcy poinformowali, że z poziomem 5 sigma ( 99.999942 % procent pewności) przy masie ok. 125-126 GeV ( odpowiada to masie jądra izotopu antymonu-125) odkryto nowy bozon (bozon ponieważ zaobserwowano kanał rozpadu H->γγ). Co więcej inne doświadczenia w CERN i Fermilabie dowiodły, że uzyskana masa jest wewnątrz przedziału, w jakim się spodziewano odkryć Higgsa. Czy znaleziono poszukiwaną "boską cząstkę" ? Trudno powiedzieć. Na chwile obecną wiemy, że odkryliśmy nowy element w Modelu Standardowym. Dalsze badania własności tego obiektu pozwolą na określenie czy jet to właśnie bozon Higgsa. Jeżeli tak to stoimy dzisiaj w przełomowym momencie fizyki. Model Standardowy stanie się kompletny, a my zyskamy potwierdzenie mechanizmu drastycznie łamiącego symetrię masy cząstek elementarnych. Odkrycie to będzie też dowodem na istnienie pola Higgsa, które to pole lub jakaś jego odmiana miała znaczący wpływ na kosmologiczny model inflacyjnego Wszechświata. Pozostaje jeszcze do rozwiązania wiele problemów: nadal nie wiemy czym jest ciemna materia a tym bardziej ciemna energia (będąca odpowiednikiem ujemnej stałej kosmologicznej Λ), czemu grawitacja jest tak słaba (problem ukrytych wymiarów) no i co z teorią strun?

Więcej informacji tutaj