Kolejne łamigówki.

Aby "narząd nieużywany nie zanikał" bawię się troszkę nieszablonowymi zadaniami z geometrii. Oto dwa zadania, które nie powiem, sprawiły mi troszkę trudności.

Zadanie 1:

Należy obliczyć pole powierzchni zacienionej figury.

Podstawową częścią rozwiązania jest wykonanie porządnego rysunku.

Wynika z niego, że jeżeli od połowy pola koła o promieniu a odejmiemy 5/6 pola koła o promieniu a/2 i pola dwóch trójkątów równobocznych o boku a/2 to otrzymamy rozwiązanie.

$$S=\frac{1}{2}\pi a^2-\frac{5}{6}\pi \left ( \frac{a}{2} \right )^2-2\frac{1}{2}\frac{a}{2}\frac{\sqrt{3}}{4}a$$
$$S=\frac{1}{2}\pi a^2-\frac{5}{24}\pi a^2-\frac{\sqrt{3}}{8}a^2$$
$$S=\frac{7}{24}\pi a^2-\frac{\sqrt{3}}{8}a^2$$
$$S\approx 0.7$$

Dwa proste zadania.

Dwa proste problemy geometryczne.

Problem 1: Jakie jest pole powierzchni pierścienia jeżeli długość najdłuższego odcinka w nim zawartego wynosi L.

Rysunek ilustruje problem. Zauważmy, iż najdłuższy odcinek jest styczny zewnętrznie do mniejszego z okręgów.

W ogólnym przypadku pole pierścienia możemy wyrazić wzorem:

$$S=\pi(R^2-r^2)$$

Z trójkąta ADF widzimy, że spełniona jest zależność:

$$r^2+\left ( \frac{L}{2} \right )^2=R^2$$

co po przekształceniu daje:

$$\left ( \frac{L}{2} \right )^2=R^2-r^2$$

Widzimy zatem, że:

$$S=\pi\left ( \frac{L}{2} \right )^2$$

Problem 2: Dany jest kwadrat o boku a w którym stworzono rozetę. Jakie jest pole powierzchni rozety?

Z rysunku wynika, że pole figury oznaczonej na zielono jest równe polu ćwiartki koła o promieniu a/2 minus pole trójkąta FEA. Co możemy zapisać jako:

$$S=\frac{1}{4}\pi \frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{4}$$

$$S=\frac{1}{16}\pi a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{1}{4}a^2\left ( \frac{\pi}{4}-1 \right )$$

Pole całej rozety otrzymamy mnożąc ten wynik przez 8.

$$S_R=2a^2\left ( \frac{\pi}{4}-1 \right )$$

Beczka.

Wczoraj coś mnie naszło i wymyśliłem sobie taki matematyczny problem. Jaka jest pojemność drewnianej beczki? Czy można to jakoś analitycznie wyprowadzić?  Okazuje się, że problem nie jest specjalnie złożony.

Złóżmy, że obrys beczki jest fragmentem paraboli o równaniu $$f(x)=ax^2+c$$. Samą beczkę otrzymamy obracając fragment tej paraboli znajdujący się w przedziale $$x\in [-H/2,H/2]$$ wokół osi OX. Ilustruje to rysunek.

Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą czynnika całkującego.

Rozważmy równanie różniczkowe w postaci:

\[\frac{{dy}}{{dx}} + p(x)y = q(x)\]
Pomnóżmy obie strony równania przez pewną funkcją J(x):
\[J(x)\frac{{dy}}{{dx}} + J(x)p(x)y = J(x)q(x)\]
Zauważmy, że lewa strona równania przypomina nieco formułę na pochodną iloczynu
\[\frac{d}{{dx}}(J(x)y) = J(x)\frac{{dy}}{{dx}} + y\frac{{dJ(x)}}{{dx}}\]

Test Math Jaxa. Twierdzenie Boltzmana.

 Ze względu na swoje zainteresowania i pracę zawodową często staje przede mną konieczność umieszczenia formuł matematycznych na stronie internetowej. Dotyczy to stron statycznych, blogów i platform e-learningowych. Jednym z rozwiązań jest zastosowanie języka MathML jednak trzeba się go nauczyć, a jestem z nautry dość leniwy. Zaczołem szukać jakiegoś narzędzia umożliwiającego wpisywanie formuł matematycznych przy użyciu LaTEX'a, którego znam. Poszukiwania nie trwały długo. Od razu natrafiłem na stronę MathJax która udostępnia oprogramowanie umożliwiające wpisywanie formuł matematycznych na stronach WWW. Wykorzystuje ono JavaScript i pozwala wprowadzać wzory w postaci LaTEX. Można również skorzystać z edytora równań - ja często używam Latex Equation Editor, choć preferuje MathType.

W celu wykorzystania MathJax np. w Bloggerze  wystarczy przełączyć się w trybie wpisywania/edytowania postu w tryb HTML i wkleić tam fragment kodu:

<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); </script> <script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript"> </script>

Następnie możemy już wpisać równanie (można to robić niekoniecznie w trybie HTML), np.

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta } }{2a}\]

co do w rezultacie:

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta } }{2a}\]

Ludwig Boltzman

Jako przykład wykażmy, że średnia energia kinetyczna cząsteczek nierelatywistycznego gazu doskonałego można wyrazić  wzorem (twierdzenie Boltzmana):

\[\left\langle E \right\rangle  = \frac{3}{2}kT\]

W ogólnym przypadku średnią energię kinetyczną możemy zapisać jako:

\[\left\langle E \right\rangle  = \int\limits_0^\infty  {n(E)P(E)EdE} \]