Beczka.

Wczoraj coś mnie naszło i wymyśliłem sobie taki matematyczny problem. Jaka jest pojemność drewnianej beczki? Czy można to jakoś analitycznie wyprowadzić?  Okazuje się, że problem nie jest specjalnie złożony.

Złóżmy, że obrys beczki jest fragmentem paraboli o równaniu $$f(x)=ax^2+c$$. Samą beczkę otrzymamy obracając fragment tej paraboli znajdujący się w przedziale $$x\in [-H/2,H/2]$$ wokół osi OX. Ilustruje to rysunek.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Widzimy, że beczka jest zdefiniowana  przez parametry, R,r i H. Aby obliczyć objętość powstałej bryły obrotowej konieczna jest znajomość równania funkcji kwadratowej. Dla ułatwienie rozważmy przedział [0,H/2]. Wtedy:

$$f(0)=R$$

$$f(H/2)=r$$

Mamy zatem:

$$f(x)=ax^2+c$$

$$f(R)=R=c$$

$$f(H/2)=r=a\frac{H^2}{4}+c$$

$$r=\frac{aH^2}{4}+R$$

$$r=\frac{aH^2}{4}+R$$

$$4r=aH^2+4R$$

$$a=\frac{4(r-R)}{H^2}$$

Ostatecznie równanie paraboli ma postać:

$$f(x)=-\frac{4(R-r)}{H^2}x^2+R$$

Korzystając ze wzoru na objętość bryły obrotowej mamy:

$$V=\pi\int_{-H/2}^{H/2}f^2(x)dx=2\pi\int_{0}^{H/2}\left ( \frac{4(R-r)}{H^2}x^2+R \right )^2dx$$

Po scałkowaniu i przekształceniach dostajemy ostateczny wzór na objętość beczki:

$$V=\frac{\pi H}{15}(3r^2-16Rr+28R^2)$$

Widzimy więc, że wzór nie jest specjalnie prosty choć beczka sama w sobie jest. Warto też rozważyć beczkę elipsoidalną powstałą poprzez obrót fragmentu elipsy. Jak mnie coś najdzie to zajmę się tym problemem.