Test Math Jaxa. Twierdzenie Boltzmana.

 Ze względu na swoje zainteresowania i pracę zawodową często staje przede mną konieczność umieszczenia formuł matematycznych na stronie internetowej. Dotyczy to stron statycznych, blogów i platform e-learningowych. Jednym z rozwiązań jest zastosowanie języka MathML jednak trzeba się go nauczyć, a jestem z nautry dość leniwy. Zaczołem szukać jakiegoś narzędzia umożliwiającego wpisywanie formuł matematycznych przy użyciu LaTEX'a, którego znam. Poszukiwania nie trwały długo. Od razu natrafiłem na stronę MathJax która udostępnia oprogramowanie umożliwiające wpisywanie formuł matematycznych na stronach WWW. Wykorzystuje ono JavaScript i pozwala wprowadzać wzory w postaci LaTEX. Można również skorzystać z edytora równań - ja często używam Latex Equation Editor, choć preferuje MathType.

W celu wykorzystania MathJax np. w Bloggerze  wystarczy przełączyć się w trybie wpisywania/edytowania postu w tryb HTML i wkleić tam fragment kodu:

<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); </script> <script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript"> </script>

Następnie możemy już wpisać równanie (można to robić niekoniecznie w trybie HTML), np.

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta } }{2a}\]

co do w rezultacie:

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta } }{2a}\]

Ludwig Boltzman

Jako przykład wykażmy, że średnia energia kinetyczna cząsteczek nierelatywistycznego gazu doskonałego można wyrazić  wzorem (twierdzenie Boltzmana):

\[\left\langle E \right\rangle  = \frac{3}{2}kT\]

W ogólnym przypadku średnią energię kinetyczną możemy zapisać jako:

\[\left\langle E \right\rangle  = \int\limits_0^\infty  {n(E)P(E)EdE} \]





Rozważmy cząstkę znajdującą w w pudle o boku L. Wtedy zachowanie cząstki w pudle możemy zapisać w postaci równania Schrödingera
\[{\nabla ^2}\Psi  + \frac{{2mE}}{\hbar }\Psi  = 0\]
które możemy zapisać jako:
\[{\nabla ^2}\Psi  + {\kappa ^2}\Psi  = 0\]
Warunki brzegowe wymagają aby funkcja falowa znikała na brzegach pudła. Oznacza to, że muszą być spełnione zależności:
\[\begin{gathered}
  {\kappa _x}L = {n_x}\pi  \\
  {\kappa _y}L = {n_y}\pi   \\
  {\kappa _z}L = {n_z}\pi   \\
\end{gathered} \]
Obliczając dostajemy:
\[\begin{gathered}
  {\kappa ^2} = \frac{{{\pi ^2}}}{{{L^2}}}\left( {n_x^2 + n_y^2 + n_z^2} \right) \\
  \frac{{{\kappa ^2}{L^2}}}{{{\pi ^2}}} = n_x^2 + n_y^2 + n_z^2  \\
\end{gathered} \]
Ostatnie z równań jest równaniem kuli o promieniu R w przestrzeni liczb kwantowych n. Łatwo policzyć, że:
\[\begin{gathered}
  R = \frac{{\kappa L}}{\pi } = \frac{L}{\pi }\sqrt {\frac{{2mE}}{{{\hbar ^2}}}}  \\
  {R^2} = \frac{{2mE{L^2}}}{{{\pi ^2}{\hbar ^2}}} = {C_1}E  \\
  {C_1} = \frac{{2mL}}{{{\pi ^2}{\hbar ^2}}}  \\
\end{gathered} \]
Element objętości kuli wyraża się wzorem:
\[dV = 4\pi {R^2}dR\]
co można zapisać jako:
\[dV = \frac{1}{2}\pi {R^2}dR = \frac{1}{2}\pi {C_1}E \times \frac{1}{2}\sqrt {{C_1}} \frac{1}{{\sqrt E }}dE\]
\[dV = \frac{\pi }{4}C_1^{3/2}{E^{1/2}}dE\]
Funkcja gęstości stanów przyjmie postać:
\[n(E)dE = \frac{\pi }{4}C_1^{3/2}{E^{1/2}}dE\]
Cząsteczki gazu podlegają rozkładowi Boltzmana w postaci:
\[P(E) = {C_2}{e^{ - \beta E}}\]
Zatem:
\[\left\langle E \right\rangle  = \int\limits_0^\infty  {n(E)P(E)EdE = \int\limits_0^\infty {\frac{\pi }{4}C_1^{3/2}{C_2}{e^{ - \beta E}}{E^{3/2}}dE} } = \frac{\pi }{4}C_1^{3/2}{C_2}\int\limits_0^\infty{{e^{ - \beta E}}{E^{3/2}}dE} \]
Normalizując rozkład mamy (N liczba cząstek w pudle):
\[\begin{gathered}
  {C_2}\int\limits_0^\infty  {n(E){e^{ - \beta E}}dE = N}   \\
  N = \frac{\pi }{4}C_1^{3/2}{C_2}\int\limits_0^\infty  {{E^{1/2}}{e^{ - \beta E}}dE}  \\
\end{gathered} \]
\[\int\limits_0^\infty  {{E^{1/2}}{e^{ - \beta T}}dE}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
   {x = \beta E}  \\
   {dx = \beta dE}  \\
\end{array} } \right| = \frac{1}{{{\beta ^{\frac{3}{2}}}}}\int\limits_0^\infty  {\sqrt x {e^{ - x}} = \frac{{\sqrt \pi  }}{{2{\beta ^{\frac{3}{2}}}}}} \]
\[N = \frac{\pi }{4}C_1^{3/2}{C_2}\frac{{\sqrt \pi  }}{{2{\beta ^{\frac{3}{2}}}}}\]
dostajemy

\[C_1^{3/2}{C_2} = \frac{{8N{\beta ^{\frac{3}{2}}}}}{{{\pi ^{\frac{3}{2}}}}} = 8N{\left( {\frac{\beta }{\pi }} \right)^{3/2}}\]
Średnia energia cząstki wyrazi się wzorem:
\[\left\langle E \right\rangle  = \frac{\pi }{4}C_1^{3/2}{C_2}\int\limits_0^\infty  {{e^{ - \beta E}}{E^{3/2}}dE}  = 2\pi N {\left( {\frac{\beta }{\pi }} \right)^{3/2}}\int\limits_0^\infty  {{e^{ - \beta E}}{E^{3/2}}dE} \]
Obliczając całkę po prawej stronie dostajemy:
\[\int\limits_0^\infty  {{e^{ - \beta T}}{E^{3/2}}dE}  = \frac{1}{{{\beta ^{\frac{5}{2}}}}}\int\limits_0^\infty  {{x^{\frac{3}{2}}}} {e^{ - x}}dx = \frac{1}{{{\beta ^{\frac{5}{2}}}}}\frac{{3\sqrt \pi  }}{4}\]
Ostatecznie dostajemy:
\[\left\langle E \right\rangle  = 2\pi N{\left( {\frac{\beta }{\pi }} \right)^{3/2}}\frac{1}{{{\beta ^{\frac{5}{2}}}}}\frac{{3\sqrt \pi  }}{4} = \frac{3}{{2\beta }}N = \frac{3}{2}NkT\]