Dwa proste zadania.

Dwa proste problemy geometryczne.

Problem 1: Jakie jest pole powierzchni pierścienia jeżeli długość najdłuższego odcinka w nim zawartego wynosi L.

Rysunek ilustruje problem. Zauważmy, iż najdłuższy odcinek jest styczny zewnętrznie do mniejszego z okręgów.

W ogólnym przypadku pole pierścienia możemy wyrazić wzorem:

$$S=\pi(R^2-r^2)$$

Z trójkąta ADF widzimy, że spełniona jest zależność:

$$r^2+\left ( \frac{L}{2} \right )^2=R^2$$

co po przekształceniu daje:

$$\left ( \frac{L}{2} \right )^2=R^2-r^2$$

Widzimy zatem, że:

$$S=\pi\left ( \frac{L}{2} \right )^2$$

Problem 2: Dany jest kwadrat o boku a w którym stworzono rozetę. Jakie jest pole powierzchni rozety?

Z rysunku wynika, że pole figury oznaczonej na zielono jest równe polu ćwiartki koła o promieniu a/2 minus pole trójkąta FEA. Co możemy zapisać jako:

$$S=\frac{1}{4}\pi \frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{4}$$

$$S=\frac{1}{16}\pi a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{1}{4}a^2\left ( \frac{\pi}{4}-1 \right )$$

Pole całej rozety otrzymamy mnożąc ten wynik przez 8.

$$S_R=2a^2\left ( \frac{\pi}{4}-1 \right )$$