Kolejne łamigówki.

Aby "narząd nieużywany nie zanikał" bawię się troszkę nieszablonowymi zadaniami z geometrii. Oto dwa zadania, które nie powiem, sprawiły mi troszkę trudności.

Zadanie 1:

Należy obliczyć pole powierzchni zacienionej figury.

Podstawową częścią rozwiązania jest wykonanie porządnego rysunku.

Wynika z niego, że jeżeli od połowy pola koła o promieniu a odejmiemy 5/6 pola koła o promieniu a/2 i pola dwóch trójkątów równobocznych o boku a/2 to otrzymamy rozwiązanie.

$$S=\frac{1}{2}\pi a^2-\frac{5}{6}\pi \left ( \frac{a}{2} \right )^2-2\frac{1}{2}\frac{a}{2}\frac{\sqrt{3}}{4}a$$
$$S=\frac{1}{2}\pi a^2-\frac{5}{24}\pi a^2-\frac{\sqrt{3}}{8}a^2$$
$$S=\frac{7}{24}\pi a^2-\frac{\sqrt{3}}{8}a^2$$
$$S\approx 0.7$$



Zadanie 2:

Podobnie jak w poprzednim zadaniu należy obliczyć pole zacienionej figury.

Łatwo zauważyć, iż promień dużego okręgu wynosi (3a/2).

Z rysunku wynika, że pole zacienionej figury można obliczyć następująco:

$$A=\left [ \frac{1}{2}\pi\left ( \frac{3}{2}a \right )^2-\frac{1}{2} \pi a^2 \right] +\left [  \frac{1}{2}\pi\left ( \frac{3}{2}a \right )^2-\frac{1}{2}\pi\left ( \frac{a}{2} \right )^2\right ] $$

$$A=\frac{5}{8} \pi a^2+\frac{7}{8}\pi a^2=\frac{12}{8}\pi a^2=\frac{3}{2}\pi a^2$$
$$A=588\pi$$