Granica Roche'a.

Granica Roche'a jest minimalną odległością w jakiej może poruszać się obiekt np. satelita wokół innego ciała niebieskiego. Po przekroczeniu tej granicy satelita na wskutek działania sił pływowych ulegnie rozerwaniu. Wynika to z faktu, iż jedna półkula satelity jest silniej przyciągana grawitacyjnie niż druga. W rezultacie różnica tych sił (inaczej siła pływowa) może spowodować rozerwanie satelity na kawałki. Efektem końcowym takiego procesu mogą być pierścienie planetarne obecne chociażby w przypadku Saturna czy Jowisza. W jaki sposób można obliczyć promień strefy Roche'a. Rozważmy bardzo uproszczony model, w którym satelita składa się z dwóch kulek związanych ze sobą siłami grawitacji. Satelita orbituje wokół planety o masie M. Sytuację ilustruje rysunek.

Siła wiążąca satelitę może być wyrażona formułą.

$$F=G\frac{m^2}{4r^2}$$

Siła pływowa związana jest z różnicą przyciągania bliższej kulki i dalszej kulki przez planetę. Łatwo ją obliczyć.

$$\Delta F=F_1-F_2=G\frac{Mm}{(R-r)^2}-G\frac{Mm}{(R+r)^2}$$
$$\Delta F= G\frac{Mm}{R^2}\left ( \frac{1}{\left ( 1-\frac{r}{R} \right )^2}-\frac{1}{\left ( 1+\frac{r}{R} \right )^2} \right )$$

Załóżmy, że r<<R wtedy ułamki możemy rozwinąć w szereg Taylora:

$$\frac{1}{(1\pm x)^2}\approx 1\mp 2x$$

Wtedy siła pływowa wynosi:

$$\Delta F= G\frac{Mm}{R^2}\left ( \frac{4r}{R} \right )$$

Warunek na promień strefy Roche'a ma postać:

$$\Delta F=F$$

Zatem

  $$G\frac{Mm}{R^2}\left ( \frac{4r}{R} \right )=G\frac{m^2}{4r^2}$$

Po prostych przekształceniach dostajemy:

$$R=r\left ( 16\frac{M}{m} \right )^{1/3}\approx 2.52r\left ( \frac{M}{m} \right )^{1/3}$$

Można też promień strefy Roche'a wyrazić przy użyciu gęstości. Wtedy wzór ma postać:

$$R=2.52r_M\left ( \frac{\rho_M}{\rho_m} \right )^{1/3}$$

Uzyskane wzory są  wzorami przybliżonymi, gdyż nasz model jest stosunkowo prosty. Dokładne wyprowadzenie formuł można przeanalizować tutaj. Jak widać wzory są bardzo podobne. Różnią się tylko zawyżonym w naszych obliczeniach współczynnikiem 2.52. Faktyczne współczynniki wynoszą 1.26 dla satelity będącego ciałem stałym i 2.42 dla satelity "ciekłego".

Dla układu Mars-Phobos promień Roche'a wynosi około 5500 km.  Zatem Phobos krąży blisko strefy Roche'a. Istnieje zatem prawdopodobieństwo, że zbliżając się do Marsa w tempie 2m/100lat ulegnie rozerwaniu tworząc pierścień wokół Marsa bądź uderzy w jego powierzchnię. Może to nastąpić za 30-50 mln lat.